Question

如圖，△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥BC，點O是AD的中點，過O點的直線MN分別交線段AB和AC于點M，N，若AM：MB=3：5，則AN：NC的值是

3：1

．

Answer 1

分析：過點O作OE∥AC交AB于E，作OF∥AB交AC于F，根據三角形內角和定理求出∠BAC=120°，再根據等腰三角形三線合一的性質求出∠BAD=∠CAD=60°，然后得到△AOE和△AOF都是等邊三角形，根據比例設AM、MB分別為3k、5k，然后求出AC=AB=8k，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD=4k，再根據點D是AD的中點求出AO=2k，然后求出ME，再利用平行線分線段成比例定理列式求出AN的長，然后求出NC，最后求解即可．

解答：解：如圖，∵∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°×2=120°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×120°=60°（等腰三角形三線合一），
過點O作OE∥AC交AB于E，作OF∥AB交AC于F，
則∠AOE=∠CAD=60°，∠AOF=∠BAD=60°，
∴△AOE和△AOF都是等邊三角形，
∴AE=AE=AO，
∵AM：MB=3：5，
∴AM=3k，MB=5k，
∴AC=AB=3k+5k=8k，
∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×8k=4k，
∵點O是AD的中點，
∴AO=

1

2

AD=

1

2

×4k=2k，
∴ME=AM-AE=3k-2k=k，
∴

OE

AN

=

ME

AM

，
即

2k

AN

=

k

3k

，
解得AN=6k，
∴NC=AC-AN=8k-6k=2k，
∴AN：NC=6k：2k=3：1．
故答案為：3：1．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理：若兩條直線被一組平行線被截，那么所截得的線段對應成比例，等腰三角形三線合一的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，作輔助線構造出等邊三角形是解題的關鍵．