Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B坐標為（4，6），點P為線段OA上一動點（與點O、A不重合），連接CP，過點P作PE⊥CP交AB于點D，且PE=PC，過點P作PF⊥OP且PF=PO（點F在第一象限），連結FD、BE、BF，設OP=t．

（1）直接寫出點E的坐標（用含t的代數式表示）：_____；

（2）四邊形BFDE的面積記為S，當t為何值時，S有最小值，并求出最小值；

（3）△BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、（t+6，t）；(2)、當t=2時，S有最小值是16；(3)、理由見解析．

【解析】分析：(1)、過點E作EG⊥x軸于點G，根據題意得出CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t，然后通過角之間的關系證明△PCO和△EPG全等，從而得出答案；(2)、根據DA∥EG得出△PAD和△PGE相似，求出AD的長度，然后根據四邊形的面積等于△BDF的面積加上△BDE的面積得出函數解析式，從而求出面積的最值；(3)、根據∠FBD、∠FDB、∠BFD分別為直角，證明是否存在即可得出答案．

詳解：（1）如圖所示，過點E作EG⊥x軸于點G，則∠COP=∠PGE=90°，

由題意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t，∵PE⊥CP、PF⊥OP，

∴∠CPE=∠FPG=90°，即∠CPF+∠FPE=∠FPE+∠EPG，∴∠CPF=∠EPG，

又∵CO⊥OG、FP⊥OG，∴CO∥FP，∴∠CPF=∠PCO，∴∠PCO=∠EPG，

在△PCO和△EPG中，∵∠PCO=∠EPG，∠POC=∠EGP，PC=EP，∴△PCO≌△EPG（AAS），

∴CO=PG=6、OP=EG=t，則OG=OP+PG=6+t，則點E的坐標為（t+6，t），

（2）∵DA∥EG，∴△PAD∽△PGE，∴，∴，∴AD=t（4﹣t），

∴BD=AB﹣AD=6﹣t（4﹣t）=t2﹣t+6，∵EG⊥x軸、FP⊥x軸，且EG=FP，

∴四邊形EGPF為矩形，∴EF⊥BD，EF=PG，

∴S四邊形BEDF=S△BDF+S△BDE=×BD×EF=×（t2﹣t+6）×6=（t﹣2）2+16，

∴當t=2時，S有最小值是16；

（3）①假設∠FBD為直角，則點F在直線BC上∵PF=OP＜AB，

∴點F不可能在BC上，即∠FBD不可能為直角；

②假設∠FDB為直角，則點F在EF上，∵點D在矩形的對角線PE上，

∴點D不可能在EF上，即∠FDB不可能為直角；

③假設∠BFD為直角且FB=FD，則∠FBD=∠FDB=45°如圖2，作FH⊥BD于點H，

則FH=PA，即4﹣t=6﹣t，方程無解，

∴假設不成立，即△BDF不可能是等腰直角三角形．