Question

【題目】如圖，的直徑，為圓周上一點，，過點作的切線，過點作的垂線，垂足為，與交于點．

（1）求的度數；

（2）求證：四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）=30°；（2）證明見解析．

【解析】

（1）易得△AOC是等邊三角形，則∠AOC=60°，根據圓周角定理得到∠AEC=30°；
（2）根據切線的性質得到OC⊥，則有OC∥BD，再根據直徑所對的圓周角為直角得到∠AEB=90°，則∠EAB=30°，可證得AB∥CE，得到四邊形OBEC為平行四邊形，再由OB=OC，即可判斷四邊形OBEC是菱形．

（1）在△AOC中，AC=3，
∵AO=OC=3，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°；

（2）∵OC⊥，BD⊥，
∴OC∥BD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB為直角三角形，∠EAB=30°．
∴∠EAB=∠AEC，
∴CE∥OB，

又∵CO∥EB，
∴四邊形OBEC為平行四邊形．
又∵OB=OC=3．
∴四邊形OBEC是菱形．