Question

【題目】（1）問題發現：如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，點D、F分別在邊AB、AC上，請直接寫出線段BD、CF的數量和位置關系；

（2）拓展探究：如圖2，當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉銳角θ時，上述結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CF，BD⊥CF，理由見解析；（2）成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質和正方形的性質解答即可；

（2）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據全等三角形的對邊相等，即可證得BD＝CF，進而證明BD⊥CF

（1）BD＝CF，BD⊥CF，理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴BD＝CF，BD⊥CF；

（2）成立，理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，

∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAF＝∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△BAD與△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD＝CF，

延長BD，分別交直線AC、CF于點M，G，如圖，

∵△BAD≌△CAF，

∴∠ABM＝∠GCM，

∵∠BMA＝∠CMG，

∴∠BGC＝∠BAC＝90°，

∴BD⊥CF．