Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，橫坐標為a的點A在反比例函數y1═（x＞0）的圖象上，點A′與點A關于點O對稱，一次函數y2=mx+n的圖象經過點A′．

（1）設a=2，點B（4，2）在函數y1、y2的圖象上．

①分別求函數y1、y2的表達式；

②直接寫出使y1＞y2＞0成立的x的范圍；

（2）如圖①，設函數y1、y2的圖象相交于點B，點B的橫坐標為3a，△AA'B的面積為16，求k的值；

（3）設m=，如圖②，過點A作AD⊥x軸，與函數y2的圖象相交于點D，以AD為一邊向右側作正方形ADEF，試說明函數y2的圖象與線段EF的交點P一定在函數y1的圖象上．

Answer 1

【答案】（1）y1=，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）證明見解析.

【解析】（1）由已知代入點坐標即可；

（2）面積問題可以轉化為△AOB面積，用a、k表示面積問題可解；

（3）設出點A、A′坐標，依次表示AD、AF及點P坐標．

（1）①由已知，點B（4，2）在y1═（x＞0）的圖象上

∴k=8

∴y1=

∵a=2

∴點A坐標為（2，4），A′坐標為（﹣2，﹣4）

把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n得，

，

解得，

∴y2=x﹣2；

②當y1＞y2＞0時，y1=圖象在y2=x﹣2圖象上方，且兩函數圖象在x軸上方，

∴由圖象得：2＜x＜4；

（2）分別過點A、B作AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D，連BO，

∵O為AA′中點，

S△AOB=S△AOA′=8

∵點A、B在雙曲線上

∴S△AOC=S△BOD

∴S△AOB=S四邊形ACDB=8

由已知點A、B坐標都表示為（a，）（3a，）

∴，

解得k=6；

（3）由已知A（a，），則A′為（﹣a，﹣）.

把A′代入到y=，得：﹣，

∴n=，

∴A′B解析式為y=﹣.

當x=a時，點D縱坐標為，

∴AD=

∵AD=AF，

∴點F和點P橫坐標為，

∴點P縱坐標為.

∴點P在y1═（x＞0）的圖象上.