Question

已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與C、D不重合），將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△ABE'，連接EE'.

（1）如圖1，∠AEE'=       °；

（2）如圖2，如果將直線AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后交直線BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EM∥AD交直線AF于點(diǎn)M，寫出線段DE、BF、ME之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3，在（2）的條件下，如果CE=2，AE=，求ME的長.

Answer 1

解：(1) 30°.

        (2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，；   

           當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長線上，

           時(shí)，；

           時(shí)，； 

           時(shí)，.

       (3)作于點(diǎn)G, 作于點(diǎn)H.

          由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，

易知四邊形AGHD是矩形和兩個(gè)全等的直角三角形.

          則GH=AD , BG=CH.

          ∵,

          ∴點(diǎn)、B、C在一條直線上.

設(shè)AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.

作于Q.

在Rt△EQC中，CE=2, ,

∴, .

∴E'Q=.

          作于點(diǎn)P.

          ∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△ABE'.

∴△A EE'是等腰三角形，.

∴在Rt△AP E'中，E'P=.

∴EE'=2 E'P=.    

∴在Rt△EQ E'中，E'Q=.

∴.

∴.          

∴，.

∴

          在Rt△E'AF中,,

   ∴Rt△AG E'∽R(shí)t△FA E'.

   ∴

∴.

∴.

由（2）知：.[來源:Z*xx*k.Com]

∴.