Question

【題目】在平面直角坐標系中，點B為第一象限內一點，點A為x軸正半軸上一點，分別連接OB，AB，△AOB為等邊三角形，點B的橫坐標為4．

（1）如圖1，求線段OA的長；

（2）如圖2，點M在線段OA上（點M不與點O、點A重合），點N在線段BA的延長線上，連接MB，MN，BM＝MN，設OM的長為t，BN的長為d，求d與t的關系式（不要求寫出t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，點D為第四象限內一點，分別連接OD，MD，ND，△MND為等邊三角形，線段MA的垂直平分線交OD的延長線于點E，交MA于點H，連接AE，交ND于點F，連接MF，若MF＝AM+AN，求點E的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）d＝8+t；（3）點E的橫坐標為6．

【解析】

（1）過點B作BH⊥OA于點H，根據等邊三角形的性質解答即可；

（2）過點M作MP⊥AB于點P，根據等邊三角形的性質解答即可；

（3）過點N作NK∥OB，交x軸于點K，過點N作NR⊥x軸于點R，通過等邊三角形的性質和全等三角形的性質的到AN=t，OM=t，AH=MH=，OH=OM+MH=，通過證明AM=AN，可得關于t的方程，求出t，即可得出答案。

解：（1）如圖，過點B作BH⊥OA于點H，

∵△AOB為等邊三角形，∴BO＝BA，

∵BH⊥OA，∴OH＝AH，

∵點B橫坐標為4，∴OH＝4，

∴OA＝2HO＝8；

（2）如圖，過點M作MP⊥AB于點P，∴∠MPA＝90°，

∵BM＝MN，∴BP＝PN，

∵△AOB為等邊三角形，∴BA＝AO＝8，∠BAO＝60°，

∴∠AMP＝30°，∴AP＝AM，

∵AM＝8﹣t，∴AP＝（8﹣t）＝4﹣t，∴BP＝AB﹣AP＝4+t，

∴BN＝2BP＝8+t，∴d＝8+t

（3）過點N作NK∥OB，交x軸于點K，過點N作NR⊥x軸于點R，

∵△AOB為等邊三角形，∴∠BOA＝60°＝∠OAB，

∵NK∥OB，∴∠NKA＝∠BOA＝60°，且∠OAB＝∠NAK＝60°，

∴∠NAK＝∠NKA＝60°，∴△AKN是等邊三角形

∴AN＝NK＝AK，

∵△MND為等邊三角形，

∴∠NMD＝∠MND＝60°，MN＝MD，

∴∠OMD+∠NMK＝∠NMK+∠MNK＝180°﹣60°＝120°，

∴∠OMD＝∠MNK，

∵AN＝8+t﹣8＝t，OM＝t，

∴OM＝AN＝NK＝AK＝t，且∠OMD＝∠MNK，MD＝MN，

∴△OMD≌△KNM （SAS），

∴OD＝MK，∠MOD＝∠MKN＝60°，

∵MK＝﹣t+t＝8，∴OD＝8，

∵EH垂直平分MA，∴AH＝MH＝AM＝（8﹣t）＝4﹣t，

∴OH＝OM+MH＝t+4﹣t＝4+t，

∵∠OEH＝90°﹣60°＝30°，∴OE＝2HO＝8+t，∴DE＝8+t﹣8＝t，∴DE＝AN，

∵∠DOA＝∠BAO，∴BN∥OE，∴∠NAF＝∠DEF，

又∵∠AFN＝∠EFD，AN＝DE，∴△AFN≌△EFD（AAS），∴FN＝FD，

又∵MN＝MD，∴MF⊥DN，

∵NR⊥AK，∴∠ARN＝90°，且∠NAK＝60°，∴∠ANR＝30°，

∴AR＝，

∵MR＝AM+AR＝AM+，MF＝AM+，∴MR＝MF，且 MF⊥DN，NR⊥AK，

∴∠MNR＝∠MND＝60°，∴∠NMA＝90°﹣60°＝30°，

∵∠BAO＝∠AMN+∠ANM，∴∠AMN＝∠ANM＝30°，∴AM＝AN，∴8﹣t＝t，∴t＝4，

∴OH＝4+×4＝6，∴點E的橫坐標為6．