Question

【題目】如圖，在矩形中是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，連接，以下四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③；④．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出△ADE≌△BCE（SAS），進(jìn)而求出△ABE是等邊三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），進(jìn)而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分別得出AD與AB，PB與PC的數(shù)量關(guān)系即可．

解：∵在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

∴DE＝CE，

又∵AD＝BC，∠D＝∠C，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB，

∵EA平分∠BED，

∴∠AED＝∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB平分∠AEC，正確；

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB，

∵PE⊥AE，

∴∠DEA＋∠CEP＝90°，

則∠CEP＝30°，

故∠PEB＝∠EBP＝30°，

則EP＝BP，

又∵AE＝AB，AP＝AP，

∴△AEP≌△ABP（SSS），

∴∠EAP＝∠PAB＝30°，

∴AP⊥BE，故②正確；

∵∠DAE＝30°，

∴tan∠DAE＝＝tan30°＝，

∴AD＝DE，即，

∵AB＝CD，

∴③正確；

∵∠CEP＝30°，

∴CP＝EP，

∵EP＝BP，

∴CP＝BP，

∴④PB＝2PC正確．

綜上所述：正確的共有4個(gè)．

故選：A．