Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠A=90°,點D為BC的中點,DE⊥DF,DE交AB于點E,DF交AC于點F,試寫出線段BE,EF,FC之間的數量關系,并說明理由.

Answer 1

【答案】FC2+BE2=EF2.

【解析】

BE2+CF2＝EF2，可延長FD至P，使DP＝DF，連接EP，連接BP，證明△CFD≌BPD，進而在Rt△PBE中，由勾股定理即可得出結論．

BE2+CF2＝EF2．理由如下：

延長FD至P，使DP＝DF，連接EP，BP．

∵D是BC的中點，∴BD＝CD．

在△CDF和△BPD中，∵，∴△CDF≌△BPD（SAS），∴CF＝BP，∠C＝∠PBD．

∵∠A＝90°，∴∠ABP＝∠ABC+∠DBP＝∠ABC+∠C＝180°﹣90°＝90°．

∵DE⊥DF，DF＝DP，∴EF＝FP（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）．在Rt△BEP中，由勾股定理得：BE2+BP2＝EP2＝EF2，即：BE2+CF2＝EF2．