Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，OE⊥BC垂足為E，AB⊥CD垂足為F．

（1）求證：AD＝2OE；

（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半徑為2，求兩陰影部分面積的和．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2π﹣2

【解析】

（1）連接AC，由垂徑定理得弧AC=弧AD，從而AC＝AD，又OE⊥BC，則E為BC的中點，所以OE是△ABC的中位線，由中位線的性質可得OE＝AC，從而可證AD＝2OE；

（2）根據S陰影＝S半圓﹣S△ABC求解即可.

解：（1）證明：連接AC，

∵AB⊥CD，

∴弧AC=弧AD，

∴AC＝AD，

∵OE⊥BC，

∴E為BC的中點，

∵O為AB的中點，

∴OE 為△ABC的中位線，

∴OE＝AC，

∴OE＝AD，

即AD＝2OE；

（2）S半圓＝πOB2＝＝2π，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ABC＝30°，AB＝4，

∴AC＝AB＝，

BC＝，

S△ABC＝ACBC＝＝2，

∵AB⊥CD，

∴拱形AD的面積＝弓形AC的面積，

∴S陰影＝S半圓﹣S△ABC＝2π﹣2．