Question

【題目】（8分）如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，E為AC的中點，連結DE．

（1）若AD=DB，OC=5，求切線AC的長．

（2）求證：ED是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）AC=10；（2）詳見解析．

【解析】

試題（1）連接CD,根據直徑所對的圓周角是直角可得∠BDC=90°,即CD⊥AB．又因E為AC的中點，根據線段垂直平分線的性質即可得AC="BC=2OC" =10．（2）連接OD,根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得DE=EC=AC,再由等邊對等角可得∠1=∠2, ∠3=∠4,根據切線的性質定理可得AC⊥OC，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即可證得DE⊥OD，所以DE是⊙O的切線．

試題解析：

（1）連接CD,

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°,即CD⊥AB,

∵AD=DB

∴AC=BC=2OC=10．

（2）連接OD,

∵∠ADC=90°,E為AC的中點，

∴DE=EC=AC, ∴∠1=∠2,

∵OD="OC," ∠3=∠4,

∵AC切⊙O于點C，∴AC⊥OC．

∴∠1+∠3=∠2+∠4,即DE⊥OD,

∴DE是⊙O的切線．