Question

【題目】已知二次函數y1＝m（x﹣1）（x+3）（m≠0）的圖象經過點．

（1）求二次函數的解析式；

（2）當x取a，b（a≠b）時函數值相等，求x取a+b時的函數值；

（3）若反比例函數y2＝（k＞0，x＞0）的圖象與（1）中的二次函數的圖象在第一象限內的交點為A，點A的橫坐標x滿足2＜x0＜3，試求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ; (2) x取a+b時的函數值為; (3) k的取值范圍為5＜k＜18．

【解析】

（1）直接利用待定系數法求函數的解析式即可．

（2）首先根據解析式求得對稱軸x＝﹣1，因為當x取a，b（a≠b）時函數值相等，則＝﹣1，即可求出a+b的值；再將x＝a+b代入即可求得函數值；

（3）點A的橫坐標x0滿足2＜x0＜3，可通過x＝2，x＝3兩個點上拋物線與反比例函數的大小關系即可求出k的取值范圍．

（1）將點（0，-）代入y＝a（x﹣1）（x+3），解得a＝．

∴拋物線解析式為．

（2）由拋物線y1＝m（x﹣1）（x+3）（m≠0）可知拋物線與x軸的交點為（1，0），（﹣3，0），

∴對稱軸為直線x＝＝﹣1，

∵當x取a，b（a≠b）時函數值相等，

∴＝﹣1，

∴a+b＝﹣2．

∴y1＝（﹣2﹣1）（﹣2+3）＝﹣，

x取a+b時的函數值為﹣．

（3）當2＜x＜3時，函數y1＝x2+x﹣，y1隨著x增大而增大，對y2＝（k＞0），y2隨著x的增大而減小．

∵A（x0，y0）為二次函數圖象與反比例函數圖象的交點，

∴當x0＝2時，由反比例函數圖象在二次函數上方得y2＞y1，

即，解得k＞5．

當x0＝3時，二次函數數圖象在反比例上方得y1＞y2，

即，解得k＜18．

所以k的取值范圍為5＜k＜18．