Question

【題目】如圖①，已知拋物線C1：y=a（x+1）2﹣4的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．

（1）求點C的坐標及a 的值；
（2）如圖②，拋物線C2與C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移4個單位，得到拋物線C3 ． C3與x軸交于點B、E，點P是直線CE上方拋物線C3上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交CE于點F．
①求線段PF長的最大值；
②若PE=EF，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：頂點C為（﹣1，﹣4）．

∵點B（1，0）在拋物線C1上，∴0=a（1+1）2﹣4，解得，a=1；

（2）解：①∵C2與C1關于x軸對稱，

∴拋物線C2的表達式為y=﹣（x+1）2+4，

拋物線C3由C2平移得到，

∴拋物線C3為y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5，

∴E（5，0），

設直線CE的解析式為：y=kx+b，

則 ， ，

∴直線CE的解析式為y= ，

設P（x，﹣x2+6x﹣5），則F（x， ），

∴PF=（﹣x2+6x﹣5）﹣（ ）=﹣x2+ x﹣ =﹣（x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，PF有最大值為 ；

②若PE=EF，∵PF⊥x軸，

∴x軸平分PF，

∴﹣x2+6x﹣5=﹣ ，

解得x1= ，x2=5（舍去）

∴P（ ， ）．

【解析】（1）由拋物線的頂點式得到頂點C的坐標；由點B（1，0）在拋物線上，求出a的值；（2）①由C2與C1關于x軸對稱，得到拋物線C2的表達式，拋物線C3由C2平移得到，得到拋物線C3的解析式，得到E點的坐標，直線CE的解析式，求出PF的最大值；②若PE=EF，∵PF⊥x軸，得到x軸平分PF，求出P點的坐標；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.