Question

【題目】如圖，直線與⊙相切于點為⊙的直徑， 是直徑右側半圓上的一個動點(不與點、重合)，過點作，垂足為，連接、.設, .求: (1)與相似嗎?為什么?

(2)求與的函數關系式;

(3)當為何值時，取得最大值，最大值為多少?

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）2.

【解析】

（1）利用切線的性質以及平行線的性質進而得出∠CAP=∠APB以及∠PBA=∠APC=90°，即可得出答案；
（2）根據相似三角形的性質即可得到結論；
（3）由x2代替y，化為關于x的二次三項式，配方即可求得答案．

解：（1）△APC∽△APB，
證明：∵⊙O與直線l相切于點A，且AB為⊙O的直徑，
∴CA⊥l，∠CPA=90°，
又∵PB⊥l，
∴CA∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
又∵PB⊥l，
∴∠APB=90°，
∴∠CAP=∠ABP，
∴△APC∽△APB；

（2）∵△APC∽△APB，

∴ ,

∴ .

∴ （0<x<8）;

（3）x-y=x-=-(x-4)2+2,

∴當x為4時，x-y取得最大值，最大值為2．