Question

【題目】如圖，拋物線 交 軸于 兩點，交 軸于點 ， ．

（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）若 是拋物線的第一象限圖象上一點，設點 的橫坐標為m，
點 在線段 上，CD=m，當 是以 為底邊的等腰三角形時，求點 的坐標；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在拋物線上一點 ，使 ，若存在，求出點 的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解:(Ⅰ) ∵當 =0時, =4,
∴C(0,4) ，OB=4OA， CBO=45°
∴OC=OB=4, OA=1 A(-1,0) ，B(4,0)
設 ， 解得： =-1,

(Ⅱ) 設P(m,-m2+3m+4)，PCD是以CD為底邊的等腰三角形時，過點P作PE⊥CD于E，CD=m CE=DE，OE=4- m,

∴4- m=-m2+3m+4 m>0 m=
∴P（ ， ）
(Ⅲ)假設存在，過點P作PE⊥CD于點E，且交CB于H，過點P作PF⊥AB于F,

P（ ， ）這時CD=3.5 ，D(0,0.5)
可求出直線PD的解析式: 可知直線PD 過點A(-1,0)
若設∠APQ2=∠BCP= ∠CPE=∠EPA=∠PAB= ， CBO= CHE= 45°,
又 CHE= +
∴ + =45°= EPG = PGF
∴PF=FG= ，OG= - =
∴G( ,0), 可求出直線PG的解析式:
由
解得x1 = ， x2= (舍去)
∴ Q2（ ， ）
作點G關于直線AP的對稱點S,

由于PD的解析式:
∴設GS的解析式： 過點G，得出 = ， ， 聯立得： ，解得：
求出點K（ ， ）
∵點K為SG的中點,求出S( , ) P（ ， ） ∴PS的解析式為:
∴ ，解得: （舍去） ， ，
∴Q1（ ， ）
【解析】(Ⅰ) 利用當 x =0時, y =4,可知C(0,4)，結合∠ CBO=45°，得出B(4,0)，利用待定系數法即可求出解析式.
(Ⅱ) 根據題意可設P(m,-m2+3m+4)，利用等腰三角形的性質得解.
(Ⅲ)充分利用 ∠ PCB = ∠ APQ ，利用交點聯立函數解析式為方程組，解出點Q的坐標，此小題注意不要丟情況.