Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上運動（不與點A，B重合），∠DAM=45°，點F在射線AM上，且，CF與AD相交于點G，連接EC，EF，EG，則下列結論：①∠ECF=45°；②的周長為；③ ；④的面積的最大值.其中正確的結論是____.（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

①正確．如圖1中，在BC上截取BH=BE，連接EH．證明△FAE≌△EHC（SAS），即可解決問題；

②③錯誤．如圖2中，延長AD到H，使得DH=BE，則△CBE≌△CDH（SAS），再證明△GCE≌△GCH（SAS），即可解決問題；

④正確．設BE=x，則AE=a-x，AF=，構建二次函數，利用二次函數的性質解決最值問題．

解：如圖1，在BC上截取BH=BE，連接EH．

∵BE=BH，∠EBH=90°，

∴EH=BE，∵AF=BE，∴AF=EH，

∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，

∴∠FAE=∠EHC=135°，

∵BA=BC，BE=BH，

∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），

∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，

∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，

∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正確，

如圖2中，延長AD到H，使得DH=BE，則△CBE≌△CDH（SAS），

∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，

∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，

∵GH=DG+DH，DH=BE，

∴EG=BE+DG，故③錯誤，

∴△AEG的周長=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②錯誤，

設BE=x，則AE=a-x，AF=，

∴∴，

∴當時，的面積有最大值，最大值是，④正確；

故答案為：①④.