Question

【題目】已知三角形紙片,其中, ,點分別是上的點，連接.

(1)如圖1,若將紙片沿折疊，折疊后點剛好落在邊上點處，且,求的長;

(2)如圖2,若將紙片沿折疊，折疊后點剛好落在邊上點處，且.

試判斷四邊形的形狀，并說明理由;

求折痕的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）邊形是菱形，見解析，

【解析】

（1）首先根據折疊的性質，得出AE=DE，AF=DF，然后根據等腰三角形三線合一的性質，得出∠AFE=90°，判定，再根據得出和的相似比為，即可得解；

（2）①由折疊和平行的性質，得出，即可判定四邊形是菱形；

②首先過點作于點，由得出，得出，然后根據，得出，進而得出FN、EN，根據勾股定理，即可求出EF.

（1）根據題意，得AE=DE，AF=DF

∴根據等腰三角形三線合一的性質，得∠AFE=90°

又∵∠EAF=∠BAC，∠AEF=∠ABC

∴

又∵，

∴，

∴和的相似比為

即

又∵, ,

∴

（2）四邊形是菱形

由折疊的性質，得AE=EM，AF=FM，∠AEF=∠FEM，∠AFE=∠EFM

又∵

∴∠FEM=∠AFE

∴∠AEF=∠AFE，∠FEM=∠EFM

∴，

∴四邊形是菱形

過點作于點

∵

∴

∴

∵, ,

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

∴，

又∵

∴

∴