Question

如圖：拋物線經過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點，
（1）求拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的頂點坐標以及最值；
（3）已知AD=AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線圖象上的三點坐標，可利用待定系數法求出該拋物線的解析式；
（2）將（1）題所得拋物線的解析式，化為頂點坐標式，即可得到該拋物線的頂點坐標以及函數的最值；
（3）根據A、B的坐標，易求得AD=AB=5，則CD=AC-AD=2，連接DQ，由于BD垂直平分PQ，那么DP=DQ，根據等腰三角形三線合一的性質知：∠PDB=∠QDB=∠ABD，即AB∥DQ，此時△CDQ∽△CAB，利用相似三角形得到的比例線段即可求得DQ、PD的長，從而求得AP的值，進而可求得t的值．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-4），則有：
4=a（0+3）（0-4），a=-

1

3

；
故拋物線的解析式為：y=-

1

3

（x+3）（x-4）=-

1

3

x²+

1

3

x+4；

（2）由（1）知：y=-

1

3

x²+

1

3

x+4=-

1

3

（x-

1

2

）²+

49

12

，
故拋物線的頂點坐標為：（

1

2

，

49

12

），最大值為

49

12

；

（3）易知OA=3，OB=OC=4；
則AB=5，AC=7，CD=2；
連接DQ，由于BD垂直平分PQ，則DP=DQ，得：
∠PDB=∠QDB，
而AD=AB，得：∠ABD=∠ADB，
故∠QDB=∠ABD，
得QD∥AB；
∴△CDQ∽△CAB，則有：

CD

CA

=

DQ

AB

，

2

7

=

DQ

5

，
∴PD=DQ=

10

7

，AP=AD-PD=5-

10

7

=

25

7

，
故t=

25

7

．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、拋物線頂點坐標的求法、線段垂直平分線的性質、相似三角形的判定和性質等重要知識，難度適中．