Question

如圖，拋物線經過A（-2，0）、B（8，0）兩點，與y軸正半軸交與點C，且AB=BC，點P為第一象限內拋物線上一動點（不與B、C重合），設點P的坐標為（m，n）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D在BC上，且PD∥y軸，探索

BD•DC

PD

的值；
（3）設拋物線的對稱軸為l，若以點P為圓心的⊙P與直線BC相切，請寫出⊙P的半徑R關于m函數關系式，并判斷⊙P與直線l的位置關系．

Answer 1

分析：（1）AB=BC得C（0，6），設拋物線的交點式，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，利用待定系數法即可求得直線BC的解析式，再根據兩點間的距離公式可求PD=（-

3

8

m²+

9

4

m+6）-（-

3

4

m+6）=

3

8

m（8-m），CD=

5

4

m，BD=

5

4

（8-m）．從而得到

BD•DC

PD

的值；
（3）R=

4

5

PD=-

3

10

m（8-m），對稱軸l：x=3．分若⊙P與l右切；若⊙P與l左切，可求m的值；再分當0＜m＜

17- 199

3

或

7+ 139

3

＜m＜8時；當m=

17- 199

3

或m=

7+ 139

3

時；當

17- 199

3

＜m＜

7+ 139

3

時；三種情況討論可得⊙P與直線l的位置關系．

解答：解：（1）由AB=BC得C（0，6）．
設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-8），則a=-

3

8

．
故y=-

3

8

（x+2）（x-8）=-

3

8

x²+

9

4

x+6；

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，將B（8，0），C（0，6）代入得

8k+b=0 b=6

，
解得

k=- 3 4 b=6

．
故直線BC的解析式為y=-

3

4

x+6．
所以PD=（-

3

8

m²+

9

4

m+6）-（-

3

4

m+6）=

3

8

m（8-m），CD=

5

4

m，BD=

5

4

（8-m）．所以

BD•DC

PD

=

25

6

．

（3）R=

4

5

PD=-

3

10

m（8-m），對稱軸l：x=3．
若⊙P與l右切，則-

3

10

（m²-8m）=m-3，解得m₁=

7- 139

3

（舍），m₂=

7+ 139

3

；
若⊙P與l左切，則-

3

10

（m²-8m）=3-m，解得m₁=

17+ 199

3

（舍），m₂=

17- 199

3

．
由于0＜m＜8，
所以，當0＜m＜

17- 199

3

或

7+ 139

3

＜m＜8時，⊙P與直線l相離；
當m=

17- 199

3

或m=

7+ 139

3

時，⊙P與直線l相切；
當

17- 199

3

＜m＜

7+ 139

3

時，⊙P與直線l相交．

點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：勾股定理，待定系數法求拋物線的解析式，待定系數法求直線的解析式，兩點間的距離公式，切線的性質，直線與圓的位置關系，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．