Question

【題目】將兩個全等的△ABC和△DBE按圖1方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于F。

（1）求證：AF＋EF＝DE；

（2）若將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉角α，且60°<α<180°，其他條件不變，如圖2，請直接寫出此時線段AF，EF與DE之間的數量關系。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF＝DE+EF，理由見解析

【解析】

（1）由全等三角形的性質可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可證Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由線段之間關系可求解；

（2）由全等三角形的性質可得BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，由“HL”可證Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF＝CF，由線段之間關系可求解．

證明：（1）連接BF，

∵△ABC≌△DBE

∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，

∵BE＝BC，BF＝BF

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）

∴EF＝CF

∴DE＝AC＝AF+CF＝AF+EF；

（2）連接BF，

∵△ABC≌△DBE

∴BC＝BE，DE＝AC，AB＝BD，

∵BE＝BC，BF＝BF

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）

∴EF＝CF

∴AF＝AC+CF＝DE+EF．