Question

如圖，在ABCD中，點E是AB邊的中點，DE與CB的延長線交于點F．

（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）若DF平分∠ADC，連接CE．試判斷CE和DF的位置關系，并說明理由．

Answer 1

（1）由全等三角形的判定定理AAS證得結論。
（2）由（1）中全等三角形的對應邊相等推知點E是邊DF的中點，∠1=∠2；根據角平分線的性質、等量代換以及等角對等邊證得DC=FC，則由等腰三角形的“三合一”的性質推知CE⊥DF。

分析：（1）由全等三角形的判定定理AAS證得結論。
（2）由（1）中全等三角形的對應邊相等推知點E是邊DF的中點，∠1=∠2；根據角平分線的性質、等量代換以及等角對等邊證得DC=FC，則由等腰三角形的“三合一”的性質推知CE⊥DF。
解：（1）證明：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC。

又∵點F在CB的延長線上，∴AD∥CF。∴∠1=∠2。
∵點E是AB邊的中點，∴AE=BE，
∵在△ADE與△BFE中，，
∴△ADE≌△BFE（AAS）。
（2）CE⊥DF。理由如下：
如圖，連接CE，
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即點E是DF的中點，∠1=∠2。
∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3。∴∠3=∠2。
∴CD=CF。∴CE⊥DF。