Question

【題目】已知正方形，P為射線上的一點，以為邊作正方形，使點F在線段的延長線上，連接.

（1）如圖1，若點P在線段的延長線上，判斷的形狀，并說明理由；

（2）如圖2，若點P在線段上

①若點P是線段的中點，判斷的形狀，并說明理由；

②當時，請直接寫出的度數.

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形，見解析；（2）①直角三角形，見解析；②

【解析】

（1）由正方形的性質可得AB=BC，BF=BP，∠ABC=90°=∠EFB=∠EPB，通過證明△AFB≌△CPB，可得AF=CP，∠AFB=∠CPB，由“SAS”可證△AFE≌△CFE，可得AE=CE，即△ACE是等腰三角形；
（2）設AP=PB=PE=EF=BF=a，則AB=2a=BC，CF=3a，由勾股定理的逆定理可證△ACE是直角三角形；
（3）由正方形的性質可得BE=PB=AB，即可求∠EAB=67.5°，即可求∠CAE的度數．

解：（1）△ACE等腰三角形
理由如下：
如圖，連接AF，CP，

∵四邊形ABCD，四邊形FBPE是正方形
∴AB=BC，BF=BP，∠ABC=90°=∠EFB=∠EPB，
∴∠ABF=∠CBP=90°，且AB=BC，BF=BP
∴△AFB≌△CPB（SAS）
∴AF=CP，∠AFB=∠CPB，
∴∠AFB+∠EFB=∠CPB+∠EPB
∴∠AFE=∠CPE，且AF=CP，EF=EP，
∴△AFE≌△CFE（SAS）
∴AE=CE，
∴△ACE是等腰三角形
（2）△ACE是直角三角形
理由如下：
∵點P是線段AB的中點，
∴AP=PB=AB
設AP=PB=PE=EF=BF=a，則AB=2a=BC，CF=3a，
∵AC2=AD2+CD2=8a2，CE2=CF2+EF2=10a2，AE2=AP2+PE2=2a2，
∴CE2=AC2+AE2，
∴△ACE是直角三角形
（3）如圖,連接BE，

∵四邊形ABCD，四邊形FBPE是正方形,
∴∠CAB=∠EBP=45°，BE=PB,
∵AB=PB,
∴AB=BE,
∴∠EAB=∠AEB=67.5°,
∴∠CAE=∠EAB+∠CAB=112.5°.