Question

【題目】如圖，以AB為直徑作半圓O，點C是半圓上一點，∠ABC的平分線交⊙O于E，D為BE延長線上一點，且∠DAE＝∠FAE．

（1）求證：AD為⊙O切線；

（2）若sin∠BAC＝，求tan∠AFO的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）先利用角平分線定義、圓周角定理證明∠4＝∠2，再利用AB為直徑得到∠2+∠BAE＝90°，則∠4+∠BAE＝90°，然后根據切線的判定方法得到AD為⊙O切線；

（2）先利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則sin∠BAC＝，設BC＝3k，AC＝4k，所以AB＝5k．連接OE交OE于點G，如圖，利用垂徑定理得OE⊥AC，所以OE∥BC，AG＝CG＝2k，則OG＝k，EG＝k，再證明△EFG∽△BFC，利用相似比得到，于是可計算出FG＝CG＝k，然后根據正切的定義求解．

（1）證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠1＝∠2，

∵∠1＝∠3，∠3＝∠4，

∴∠4＝∠2，

∵AB為直徑，

∴∠AEB＝90°，

∵∠2+∠BAE＝90°

∴∠4+∠BAE＝90°，即∠BAD＝90°，

∴AD⊥AB，

∴AD為⊙O切線；

（2）解：∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，

∴設BC＝3k，AC＝4k，則AB＝5k．

連接OE交OE于點G，如圖，

∵∠1＝∠2，

∴，

∴OE⊥AC，

∴OE∥BC，AG＝CG＝2k，

∴OG＝BC＝k，

∴EG＝OE﹣OG＝k，

∵EG∥CB，

∴△EFG∽△BFC，

∴，

∴FG＝CG＝k，

在Rt△OGF中，tan∠GFO＝，

即tan∠AFO＝3．