Question

如圖．直線AB分別交y軸，x軸于A，B兩點，已知A（0，2），B（2，0），以P（-，0）為圓心的圓與直線AB相切于點E．
（1）求⊙P的半徑長．
（2）若Rt△ABO被直線y=kx-2k分成兩部分，設靠近原點那一部分面積為S，求出S與自變量k的函數關系式．
（3）若直線y=kx-2k把Rt△ABO分成兩部分的面積比為1：2，求k的值．

Answer 1

解：（1）連接PE，
∵AB切⊙P于點E，
∴PE⊥AB，
∴∠AOB=∠PEB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△AOB∽△PEB，
∴=，
∵OA=2，PB=2+=2，AB==4，
∴=，解得PE=；

（2）∵在y=kx-2k中，令y=0，則x=2，
∴直線y=kx-2k經過點（2，0），
設直線y=kx-2k與y軸交于點C，則C（0，-2k），
∴S_△BOC=OB•OC=×2×（-2k）=-2k，此時0＜-2k＜2，
∴-＜k＜0，
∴S=-2k（-＜k＜0）；

（3）當點C是OA的一個三等分點時，
∵直線y=kx-2k把Rt△ABO分成兩部分的面積比為1：2，
∴S_△COB：S_△ABO=1：2，或S_△ABO：S_△COB=1：2，
當S_△COB：S_△ABC=1：2時，
S_△COB=S_△ABO=××2×2=，
∴-2k=，解得k=-；
當S_△ABO：S_△COB=1：2時，S_△COB=S_△AOB=××2×2=，
∴-2k=，解得k=-，
綜上所述，k=-或k=-．
分析：（1）連接PE，由相似三角形的判定定理得出△AOB∽△PEB，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得出PE的長；
（2））在y=kx-2k中，令y=0，則x=2，故可得出直線y=kx-2k經過點（2，0），設直線y=kx-2k與y軸交于點C，則C（0，-2k），由三角形的面積公式即可得出結論；
（3）當點C是OA的一個三等分點時，根據直線y=kx-2k把Rt△ABO分成兩部分的面積比為1：2，可知S_△COB：S_△ABO=1：2，或S_△ABO：S_△COB=1：2，
再由三角形的面積公式即可得出結論．
點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的性質、相似三角形的判定與性質、三角形的面積公式等知識，難度適中．