Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F

（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形。
（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠A=∠ABC=90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE=∠DFE，

在△BEC與△FED中，

，

∴△BEC≌△FED，

∴BE=FE，

又∵E是邊CD的中點(diǎn)，

∴CE=DE，

∴四邊形BDFC是平行四邊形

（2）

解：①BC=BD=3時(shí)，由勾股定理得，AB===2，

所以，四邊形BDFC的面積=3×2=6；

②BC=CD=3時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，

所以，AG=BC=3，

所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，

由勾股定理得，CG===，

所以，四邊形BDFC的面積=3×=3；

③BD=CD時(shí)，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時(shí)不成立；

綜上所述，四邊形BDFC的面積是6或3．

【解析】（1）根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線平行求出BC∥AD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=EF，然后利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）分①BC=BD時(shí)，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解；②BC=CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計(jì)算即可得解；③BD=CD時(shí)，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾．
此題考查了平行線的判定和三角形全等的判定，勾股定理和平行四邊形面積的求法，注意分情況討論。