Question

已知△ABC（如圖所示）．
（1）在圖中找出重心O；
（2）設(shè)BC，AC，AB邊的中點為M，N，G，度量OM和OA，ON與OB，OG與OC，根據(jù)度量的結(jié)果，猜想三角形的重心到三角形頂點的距離與到對邊中點的距離之間的距離，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）各中線的交點叫重心．
（2）根據(jù)度量的結(jié)果得出結(jié)論，進(jìn)而進(jìn)行證明．作出長邊的中點利用三角形中位線定理得到平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求證即可．

解答：解：（1）用尺規(guī)作圖作出△ABC三邊的中線AM，BN，CG，設(shè)它們的交點為O，則O為△ABC的重心

（2）通過度量發(fā)現(xiàn)：AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG
猜想：三角形的重心O到三角形頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍．
證明：如圖所示，取BO，CO的中點K，H，連接KH，HN，NG，KG，
∵G，N分別是AB，AC的中點，
∴GN平行且等于

1

2

BC．
又∵K，H分別是OB，OC邊的中點，
∴KH平行且等于

1

2

BC．
∴GN平行且等于KH．
∴四邊形KHNG是平行四邊形．
∴GO=OH，NO=KO．
而BK=KO，CH=HO，
∴BO=2ON，CO=2OG．
若取AO的中點R，
同理，可證AO=2OM．
∴AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG．

點評：本題考查重心的定義，利用三角形中位線定理判斷出平行四邊形．需注意三角形問題常轉(zhuǎn)換為平行四邊形問題來解決．