Question

【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．

（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，

①當(dāng)∠ABO＝60°時(shí)，求∠AEB的度數(shù)；

②點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況：若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大小；

（2）如圖2，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABO的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化，∠AEB＝135°，詳見(jiàn)解析（2）∠ABO＝60°

【解析】

（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角分線定義，即可求解；

②方法同①，只是把度數(shù)轉(zhuǎn)化為角表示出來(lái)，即可解答；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，利用角的和差計(jì)算即可求得結(jié)果，要對(duì)誰(shuí)是誰(shuí)的3倍分類討論..

（1）如圖1，①∵MN⊥PQ，

∴∠AOB＝90°，

∵∠ABO＝60°，

∴∠BAO＝30°，

∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，

∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，

∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．

②∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化．理由如下：

同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO

＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．

（2）∠ABO的度數(shù)為60°．理由如下：如圖2，

∵∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，

又∵∠BOA＝90°，

∴∠GAO＞90°，

①∵∠E＝∠EAF＝30°，

∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，

∴∠OAE＝15°，

∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）

∴∠ABO＝60°．

②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°

∴∠E+∠F=90°

∴∠E=22.5°

∴∠EFA=90-22.5°=67.5°

∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，

∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°

∴∠ABO=90°-45°=45°