Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=10，點O為AC上一點，以O(shè)A為半徑作⊙O交AB于點D，BD的中垂線分別交BD，BC于點E，F(xiàn)，連結(jié)DF．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若AO=x，DF=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵EF是BD的中垂線，

∴DF=BF．

∴∠FDB=∠B，

∵∠C=90°，

∴∠OAD+∠B=90°．

∴∠ODA+∠FDB=90°．

∴∠ODF=90°，

又∵OD為⊙O的半徑，

∴DF為⊙O的切線

（2）解：連接OF．

在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，sinA= ，AB=10，

∴AC=6，BC=8，

∵AO=x，DF=y，

∴OC=6﹣x，CF=8﹣y，

在Rt△COF中，

OF2=（6﹣x）2+（8﹣x）2

在Rt△ODF中，

OF2=x2+y2

∴（6﹣x）2+（8﹣x）2=x2+y2，

∴y=﹣ x+ （0＜x≤6）

【解析】（1）連接OD，由于EF是BD的中垂線，DF=BF．從而可知∠FDB=∠B，又因為OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，從而可證明∠ODF=90°；（2）連接OF，由題意可知：AO=x，DF=y，OC=6﹣x，CF=8﹣y，然后在Rt△COF中與Rt△ODF中利用勾股定理分別求出OF，化簡原式即可求出答案．
【考點精析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．