Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，CD為AB邊上的高

(1) 如圖1，求證：∠BAC＝2∠BCD

(2) 如圖2，∠ACD的平分線CE交AB于E，過E作EF⊥BC于F，EF與CD交于點G．若ED＝m，BD＝n，請用含有m、n的代數式表示△EGC的面積

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（m+n）m．

【解析】

(1) 過A作AE⊥BC于E, 交CD于F, 利用三線合一的性質, 通過證明

∠BAE=∠BCD來證明∠BCD=∠BAE=∠A;

(2) 過點A作AP⊥BC于點P, 求出∠BAP=∠PAC, 求出∠BAP=∠PAC=∠BCD, ∠ACE=∠ECD,推出2 (∠BCD+∠ECD) =90, 求出∠BCE=∠FEC=45, 推出EF=FC, 求出∠BEF=∠BAP=∠BCD, ∠BFE=∠EFC=90, 根據ASA證出△BFE≌△GFC,得BE=CG=m+n,即可得到結論.

證明：(1)如圖1，過A作AE⊥BC于E，交CD于F.

證∠BAE=∠BCD．

∴∠BAC=2∠BCD；

(2)如圖2，過點A作AP⊥BC于點P.

∵AB=AC，

∴∠BAP=∠PAC，

∵CD⊥AB，

∴∠CDA=90°

∵CE平分∠DCA，

∴∠ACE=∠ECD，

∴∠ACE+∠PAC=45°

∴∠DCB+∠DCE=45°

∴∠FCE=45°，

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°

∴EF=FC，

證△BFE≌△GFC（ASA），

∴BE=CG=m+n，

∴△EGC的面積=CGDE=（m+n）m．