Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若點D，點E分別是弧AB的三等分點，當AD=5時，求BF的長和扇形DOE的面積；

（3）在（2）的條件下，如果以點C為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點到點O的距離為5，則r的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），；（3）＜r＜

【解析】

（1）證明：∵∠CBF＝∠CFB ∴CB＝CF

又∵AC＝CF∴CB＝AC＝CF

∴以C為圓心AC長為半徑的⊙C過A、B、F

∴∠ABF＝90°

∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：連接DO，EO，

∵點D，點E分別是弧AB的三等分點

∴∠AOD＝60°

又∵OA＝OD

∴△AOD是等邊三角形

∴∠OAD＝60°，AB=10

在Rt△ABF中，∠ABF＝90°,∠BAF＝60°, AB=10

∴BF＝

（3）連接OC圓心距OC＝，圓O半徑r=5．

∴＜r＜