Question

【題目】拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B，C的坐標分別為（4，0）和（0，4），拋物線的對稱軸為x＝1，直線AD交拋物線于點D（2，m）．

（1）求拋物線和直線AD的解析式；

（2）如圖Ⅰ，點Q是線段AB上一動點，過點Q作QE∥AD，交BD于點E，連接DQ，求△QED面積的最大值；

（3）如圖Ⅱ，直線AD交y軸于點F，點M，N分別是拋物線對稱軸和拋物線上的點，若以C，F，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4，y＝x+2；（2）△QED面積的最大值是3；（3）點M的坐標為（1，）或（1，）或（1，）．

【解析】

（1）待定系數法得到拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；直線AD的解析式為y＝x+2；

（2）如圖1，作EG⊥x軸，設Q（m，0），根據相似三角形的性質得到EG＝，

∴S△QDE＝S△BDQ﹣S△BEQ＝×（4﹣m）×4﹣（4﹣m）×＝﹣m2+m+，根據二次函數的性質可求△QED面積的最大值；

（3）分兩種情況討論①如圖2，若CF為平行四邊形的一邊，則點N于拋物線的頂點重合，于是可求點M的坐標；

②如圖3，若CF為平行四邊形的一條對角線，則CF與MN互相平分，過點M，N分別向x軸作垂線，垂足分別為H，K，MN與HK交于點P，求出點P、N的坐標后可求點M的坐標.

解：（1）根據題意得，

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4；

∵B（4，0），對稱軸為x＝1，

∴A（﹣2，0），

∵D（2，m）在拋物線的解析式y＝﹣x2+x+4上，

∴點D的坐標是D（2，4），

設直線AD的解析式為y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直線AD的解析式為y＝x+2；

（2）如圖1，作EG⊥x軸，設Q（m，0），

∵QE∥AD，

∴△BEQ∽△BDA，

∴，

即，

解得：EG＝，

∴S△BEQ＝×（4﹣m）×，

∴S△QDE＝S△BDQ﹣S△BEQ＝×（4﹣m）×4﹣（4﹣m）×＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣1）2+3，

∴當m=1時，△QED面積取得最大值等于3；

（3）∵直線AD交y軸于點F，

∴F（0，2），

∵拋物線的解析式是y＝﹣x2+x+4上，

∵拋物線的頂點坐標（1，），

①如圖2，若CF為平行四邊形的一邊，則點N于拋物線的頂點重合，此時，MN＝CF＝2，

∴點M的坐標（1，），（1，）；

②如圖3，若CF為平行四邊形的一條對角線，則CF與MN互相平分，

過點M，N分別向x軸作垂線，垂足分別為H，K，MN與HK交于點P，

易得△MHP≌△NKP，P（0，3）

∴點M，N的橫坐標分別是1，﹣1，

∴N（﹣1，），

∴PK＝3-=＝HP，

∴HO＝3+=，

∴M（1，），

綜上所述，點M的坐標為：（1，）或（1，）或（1，）．