Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB交于點F，在AB的延長線上取一點E，使EF＝ED，過點A作⊙O的切線交ED的延長線于點G.

（1）求證：GE是⊙O的切線；

（2）若OF：OB＝1：3，⊙O的半徑為3，求DE和AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE＝4，AG＝6．

【解析】

（1）連接，利用等腰三角形的性質以及CO⊥AB得出∠CDO+∠CDE＝90°，進而得出答案；

（2）在Rt△ODE中，設DE＝x，利用勾股定理可求得的長，易判定Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似三角形的性質可求出AG的長．

（1）證明：連接OD，

∵OC＝OD，

∴∠C＝∠ODC，

∵OC⊥AB，

∴∠COF＝90°，

∴∠C+∠CFO＝90°，

∴∠ODC+∠CFO＝90°，

∵EF＝ED，

∴∠EFD＝∠FDE，

∵∠CFO＝∠EFD，

∴∠CDO+∠CDE＝90°，

∴GE為⊙O的切線；

（2）解：∵OF：OB＝1：3，⊙O的半徑為3，

∴OF＝1，

在Rt△ODE中，OD＝3，DE＝x，則EF＝ED＝x，OE＝1+x，

∵OD2+DE2＝OE2，

∴32+x2＝（x+1）2，解得x＝4，

∴DE＝4，OE＝5，

∵AG為⊙O的切線，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE＝90°，

而∠OED＝∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴，即，

∴AG＝6．