Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是邊AC上一點，以O為圓心，OA為半徑的圓分別交AB，AC于點E，D，在BC的延長線上取點F，使得BF=EF，EF與AC交于點G．

（1）試判斷直線EF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OE，

∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切線；
（2）解：∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，
∵AO=2，∴OE=2，∴EG=2 ，
∴陰影部分的面積= = ．
【解析】（1）要證直線EF與⊙O的位置關系，連接OE，只需證明OE⊥EF。根據等腰三角形的性質證出∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，根據∠ACB=90°得出∠A+∠B=90°，可證得∠AEO+∠BEF=90°，根據切線的判定即可證得結論。
（2）根據圓周角定理可證得∠AED=90°，∠EOD=60°，再利用解直角三角形求出EG的長，然后根據陰影部分的面積=△OEG的面積-扇形EOD的面積，計算即可得出答案。