Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，A（t，0），B（t+，0），對于線段AB和點P給出如下定義：當∠APB＝90°時，稱點P為線段AB的“直角視點”．

（1）若t＝﹣，在點C（0，），D（﹣1，），E（，）中，能夠成為線段AB“直角視點”的是　 　．

（2）直線MN分別交x軸、y軸于點M、N，點M的坐標是（，0），∠OMN＝30°．

①線段AB的“直角視點”P在直線MN上，且∠ABP＝60°，求點P的坐標．

②在①的條件下，記Q為直線MN上的動點，在點Q的運動過程中，△QAB的周長存在最小值，試求△QAB周長的最小值　 　．

③若線段AB的所有“直角視點”都在△MON內部，則t的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）C、E；（2）①點P的坐標為或；② ③

【解析】

（1）根據給定的t值找出A、B點的坐標，再利用解三角形的方法討論C、D、E點是否滿足“直角視點”的條件即可得出結論；
（2）①分兩種情況：當MN與x軸的夾角∠OMN在x軸上方時和當 MN與x軸的夾角∠OMN在x軸下方時，分別計算點P的坐標即可.

②作A關于MN的對稱點A'，連接BA'交MN于Q'，延長AP交AB于H，H與G重合，連接AA'，則AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，進行計算即可.
③分別計算B點與O重合，點A與M重合時t的值，從而得出線段AB的所有“直角視點”都在△MON內部，則t的取值范圍．

解：（1）若 則

則

∴

∵點C（0，），D（﹣1，），E（，）

由勾股定理得：

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∴點C是線段AB的“直角視點”；

同理：

∴

∴

∴點D不是線段AB的“直角視點”；

同理：

∴AE2+BE2＝8＝AB2，

∴∠AEB＝90°，

∴點E是線段AB的“直角視點”；

故答案為：C、E；

（2）①分兩種情況：當MN與x軸的夾角∠OMN在x軸上方時，

∵點P是線段AB的“直角視點”，

∴∠APB＝90°，

∴點P在以AB為直徑的圓上，

∵∠ABP＝60°，

∴∠PAB＝30°，

∴

如圖1所示：作PG⊥AB于G，

則

∵點M的坐標是 ,∠OMN＝30°，

∴

∴

∴P

當MN與x軸的夾角∠OMN在x軸下方時，同理得：P

綜上所述，點P的坐標為或;

②∵，若△QAB的周長最小，則AQ+BQ的值最小，

作A關于MN的對稱點A'，連接BA'交MN于Q'，延長AP交AB于H，H與G重合，連接AA'，

則AA'⊥MN，AQ'+BQ'＝A'B最小，

∵∠OMN＝30°，

∴∠MAA'＝60°，

∵

∴

由勾股定理得：

∴△QAB最小值為

故答案為：

③如圖3所示：

當B點與O重合，則

∴

當A與M重合時，

∴若線段AB的所有“直角視點”都在△MON內部，t的取值范圍是

故答案為：