Question

13．已知：如圖，點D是△ABC中BC邊上一點，點E是AD上任意一點，且EB=EC，∠ABE=∠ACE．
（1）求證：∠BAE=∠CAE；
（2）若AB=13，BC=10，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由EB=EC，根據等腰三角形的性質得到∠EBD=∠ECD，而∠ABE=∠ACE，則∠ABC=∠ACB，根據等腰三角形的判定得AB=AC，有EB=EC，AE為公共邊，根據全等三角形的判定易得△ABE≌△ACE，由全等的性質即可得到結論；
（2）根據三線合一可得出AD⊥BC，然后利用勾股定理求得AD的長，從而求得三角形的面積．

解答 證明：（1）∵EB=EC，
∴∠EBD=∠ECD，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ABE+∠EBD=∠ACE+∠ECD，
即∠ABD=∠ACD，
∴AB=AC，
又∵∠ABE=∠ACE，EB=EC，
∴△ABE≌△ACE，
∴∠BAE=∠CAE；

（2）∵AB=AC，∠BAE=∠CAE，BC=10，
∴AD⊥BC，BD=CD=5，
在Rt△ABD中，
∵AD²=AB²-BD²=13²-5²=144，
∴AD=12，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×12×10=60．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：三條邊對應相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應角相等．也考查了等腰三角形的判定與性質．