Question

5．如圖，AB=AC，DC=DE，∠BAC+∠CDE=180°．設∠BAC=α，連接BE，P為BE的中點．

（1）如圖1，當α=90°時，若A、C、D三點共線，求∠PAC的度數；
（2）如圖2，若A、C、D三點不共線，求證：AP⊥DP；
（3）如圖3，當α=60°時，若點C線段BE上，AB=2，CD=2$\sqrt{2}$，直接寫出PD的長度．

Answer 1

分析 （1）構造出△ABP≌△FEP得出AB=EF，即可得出DA=DF即可；
（2）先判斷出△ABP≌△FEP得出AB=EF，進而判斷出AB∥EF，利用五邊形的內角和得出∠ACD=∠FED進而得出△ACD≌△FED即可得出結論，
（3）先求出AC=AB=2，再得出∠CDE=120°，進而同（1）（2）的方法得出AP⊥DP，且∠ADF=∠CDE=120°，再用勾股定理即可得出結論．

解答 解：
（1）如圖1，
延長AP、DE交于點F
∵P為BE的中點，
∴BP=EP，
∵∠BAC+∠CDE=180°．∠BAC=α=90°，
∴∠BAC=∠CDE，
∴AB∥DE，
∴∠BAP=∠EFP，
在△ABP和△FEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠EFP}\\{∠APB=∠FPE}\\{BP=EP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△FEP（ASA）
∴AB=EF
∵DC=DE，
∴DA=DF，
∵∠D=90°，
∴∠PAC=45°
（2）如圖2，
延長AP至F，且使PF=AP，連接EF、DF、AD，
∵P為BE的中點，
∴BP=EP，
在△ABP和△FEP中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=EP}\\{∠APB=∠FPE}\\{AP=FP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△FEP（ASA）
∴AB=EF=AC，∠ABP=∠FEP
∴AB∥EF
在五邊形ABEDC中，∠B+∠C+∠BED=540°-180°=360°
∴∠C=360°-∠B-∠BED
∵AB∥EF，
∴∠B=∠PEF
∵∠DEF=360°-∠PEF-∠BED=360°-∠B-∠BED
∴∠ACD=∠FED，
∴△ACD≌△FED（SAS）
∴DA=DF
∴△DAF為等腰三角形
∵P為AF的中點
∴PD⊥AP
（3）如圖3，
連接AP并延長至F，使PF=AP，連接AD，DF，EF，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠CDE=180°
∴∠CDE=120°，
∵AB=AC=2
同（1）（2）可得，AP⊥DP，且∠ADF=∠CDE=120°，
∴AD=DF，
∴∠DAP=$\frac{1}{2}$（180°-∠ADF）=30°，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$
在△DAP中，∠DAP=30°
∴DP=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判斷和性質，五邊形的內角和，平行線的判定和性質，勾股定理，解本題的關鍵是構造全等三角形，是一道很好中的中考常考題．