Question

【題目】如圖，直線AB，CD相交于點O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE

（1）判斷OF與OD的位置關系，并進行證明．

（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度數．

Answer 1

【答案】（1）OF⊥OD，證明詳見解析；（2）∠EOF＝60°．

【解析】

（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝∠AOE、∠EOD＝∠EOB，根據鄰補角互補可得出∠AOE+∠EOB＝180°，進而可得出∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可證出OF⊥OD；

（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5結合鄰補角互補、對頂角相等，可求出∠BOD的度數，根據OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度數以及∠EOF＝∠AOE，再根據鄰補角互補結合∠EOF＝∠AOE，可求出∠EOF的度數．

（1）OF⊥OD．

證明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，

∴∠FOE＝∠AOE，∠EOD＝∠EOB．

∵∠AOE+∠EOB＝180°，

∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝（∠AOE+∠EOB）＝90°．

∴OF⊥OD．

（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，

∴∠BOD：∠AOD＝1：5．

∵∠AOD+∠BOD＝180°，

∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．

∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，

∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝∠AOE．

∵∠AOE+∠BOE＝180°，

∴∠AOE＝120°，

∴∠EOF＝60°．