Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高．得到下面四個結論：①OA=OD；②AD⊥EF；③當∠A=90°時，四邊形AEDF是正方形；④ AE2+DF2=AF2+DE2．上述結論中正確的是( )

A. ②③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

由AD是角平分線及DE、DF均為高可知△AED≌△AFD，則可得AE=AF,DE=DF，繼而得到AD是EF的垂直平分線，由此可判斷②和③正誤，再由勾股定理可判斷④的正誤，而①的結論無法由已知條件推出.

解：∵AD是角平分線，

∴∠EAD=∠FAD，

∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，

∴△ADE≌△AFD，

∴AE=AF，DE=DF，

∴AD⊥EF，②正確，

∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°

又∵AE=AF，

∴四邊形AEDF是正方形，③正確，

∵∠AED=∠AFD=90°，

∴AE2+DE2=AF2+DF2=AD2

∵DE=DF，

∴AE2+DF2=AF2+DE2，④正確.

根據前述已得結論，需要四邊形AEDF是菱形才能得到OA=OD的結論，而題干并未給出這個條件，①錯誤，

故選擇D.