Question

【題目】已知關于x的兩個一元二次方程：

方程①： ；

方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3=0．

（1）若方程①有兩個相等的實數根，求：k的值

（2）若方程①和②只有一個方程有實數根，請說明此時哪個方程沒有實數根．

（3）若方程①和②有一個公共根a，求代數式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值．

Answer 1

【答案】（1）k=﹣4；（2）證明見解析；（3）5；

【解析】

（1）根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到1+≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+）×（-1）=0，求出k的值即可.（2）計算第2個方程的判別式得△2=（2k+3）2+4＞0，利用判別式的意義可判斷方程②總有實數根，于是可判斷此時方程①沒有實數根，（3）設a 是方程①和②的公共根，利用方程解的定義得到（1+）a2+（k+2）a-1=0 ③，a2+（2k+1）a-2k-3=0④，利用③×2（2+k）a2+（2k+4）a﹣2=0⑤，由⑤+④得（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5，然后利用整體代入的方法計算代數式的值．

（1）∵方程①有兩個相等的實數根，

∴ ，Δ1=0，

則k≠﹣2，△1=b2﹣4ac=（k+2）2﹣4（1+）×（﹣1）=k2+4k+4+4+2k=k2+6k+8，

則（k+2）（k+4）=0，

∴k=﹣2，k=﹣4，

∵k≠﹣2，

∴k=﹣4；

（2）∵△2=（2k+1）2﹣4×1×（﹣2k﹣3）=4k2+4k+1+8k+12=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，

∴無論k為何值時，方程②總有實數根，

∵方程①、②只有一個方程有實數根，

∴此時方程①沒有實數根．

（3）根據a是方程①和②的公共根，

∴③， a2+（2k+1）a﹣2k﹣3=0④，

∴③×2得：（2+k）a2+（2k+4）a﹣2=0⑤，

⑤+④得：（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5，

代數式=（a2+4a﹣2）k+3a2+5a=（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k=5．

故代數式的值為5．