Question

【題目】如圖，拋物線經過A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三點在拋物線上，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣2x﹣

（2）

解：∵拋物線的解析式為：y= x2﹣2x﹣ ，

∴其對稱軸為直線x=﹣ =﹣ =2，

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣ ），

∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴ ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣ ，

當x=2時，y=1﹣ =﹣ ，

∴P（2，﹣ ）

（3）

解：存在．

如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，

∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，﹣ ），

∴N1（4，﹣ ）；

②當點N在x軸上方時，

如圖，過點N2作N2D⊥x軸于點D，

在△AN2D與△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC= ，即N2點的縱坐標為 ．

∴ x2﹣2x﹣ = ，

解得x=2+ 或x=2﹣ ，

∴N2（2+ ， ），N3（2﹣ ， ）．

綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，﹣ ），（2+ ， ）或（2﹣ ， ）．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三點代入求出a、b、c的值即可；（2）因為點A關于對稱軸對稱的點B的坐標為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可；（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．