Question

【題目】正方形ABCD和正方形AEFG，AB＝12，AE＝6．設∠BAE＝α(0°≤α≤45°，點E在正方形ABCD內部)，BE的延長線交直線DG于點Q．

（1）求證：△ADG≌△ABE；

（2）試求出當α由0°變化到45°過程中，點Q運動的路線長，并畫出點Q的運動路徑；直接寫出當α等于多少度時，點G恰好在點Q運動的路徑上．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）圖見解析；．

【解析】

（1）由正方形的性質得出AD＝AB，AG＝AE，∠EAG＝∠BAD＝90°，易證∠DAG＝∠BAE，由SAS證得△ADG≌△ABE；

（2）由△ADG≌△ABE，得出∠ADG＝∠ABE，則∠BQD＝∠BAD＝90°，得出點Q的運動軌跡是以BD為直徑的，所對的圓心角是90°，BD＝AB＝12，則點Q的運動路徑長＝＝3π，由AE＝6，得出AE＝AG＝BD＝OD，當B、E、G三點共線，且OG＝OD時，Q與G重合，則△OAG是等邊三角形，得出∠GAO＝60°，推出∠BAE＝∠DAG＝60°﹣45°＝15°，即可得出結果．

（1）證明：∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，

∴AD＝AB，AG＝AE，∠EAG＝∠BAD＝90°，

∴∠DAG+∠DAE＝∠BAE+∠DAE＝90°，

∴∠DAG＝∠BAE，

在△ADG和△ABE中，，

∴△ADG≌△ABE(SAS)；

（2）解：∵△ADG≌△ABE，

∴∠ADG＝∠ABE，

∴∠BQD＝∠BAD＝90°，

∴點Q的運動軌跡是以BD為直徑的，所對的圓心角是90°，

∵AB＝12，

∴BD＝AB＝12，

∴點Q的運動路徑長＝＝3π，

點Q的運動路徑如圖1所示：

∵AE＝6，

∴AE＝AG＝BD＝OD，

當B、E、G三點共線，且OG＝OD時，Q與G重合，如圖2所示：

則△OAG是等邊三角形，

∴∠GAO＝60°，

∵∠DAC＝45°，

∴∠BAE＝∠DAG＝60°﹣45°＝15°，

∴當α＝15°時，點G恰好在點Q運動的路徑上．