Question

【題目】在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD是△ABC的高，P是線段AC（不包括端點A，C）上一動點，以DP為一腰，D為直角頂點（D、P、E三點逆時針）作等腰直角△DPE，連接AE．

（1）如圖1，點P在運動過程中，∠EAD=______，寫出PC和AE的數量關系；

（2）如圖2，連接BE．如果AB=4，CP=，求出此時BE的長．

Answer 1

【答案】（1）45°；PC=AE，（2）.

【解析】

（1）根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）根據等腰直角三角形的性質得到∠DEP=∠DPE=45°，DE=DP．根據全等三角形的性質得到AE=PC=∠EAD=∠ACD=45°，過點E作EF⊥AB于F．根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）PC=AE，

∵∠EDP=∠ADC=90°，

∴∠ADE+∠ADP=∠ADP+∠CDP=90°，

∴∠ADE=∠CDP，

在△ADE與△CDP中，

∴△ADE≌△CDP（SAS），

∴∠EAD=∠PCD=45°，PC=AE；

故答案為：45°；

（2）如圖，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°．

∵∠BAC=45°，

∴AD=DC．

∵△DEP是等腰直角三角形，∠EDP=90°，

∴∠DEP=∠DPE=45°，DE=DP．

∵∠EDP=∠ADC=90°，

∴∠EDP-∠ADP=∠ADC-∠ADP．

∴∠EDA=∠PDC．

∴△EDA≌△PDC．（SAS），

∴AE=PC=∠EAD=∠ACD=45°，

過點E作EF⊥AB于F．

∴在Rt△AEF中，利用勾股定理，可得EF=AF=1，

∵AB=4，

∴BF=AB-AF=3．

∴BE==．