Question

2．如圖，△ABC中，AC=BC，AB=4，∠ACB=90°，以AB的中點D為圓心DC長為半徑作$\frac{1}{4}$圓DEF，設∠BDF=α（0°＜α＜90°），當α變化時圖中陰影部分的面積為π-2（$\frac{1}{4}$圓：∠EDF=90°，$\frac{1}{4}$圓的面積=$\frac{1}{4}π•{r}^{2}$）

Answer 1

分析 作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，構造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性質，通過證明△DMG≌△DNH，把△DHN補到△DNG的位置，得到四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，于是得到陰影部分的面積=扇形的面積-正方形DMCN的面積，即可得出結果．

解答 解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，連接DC，如圖所示：
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AB，DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AB，
∴DM=DN，
∴四邊形DMCN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDG=90°-∠GDN，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDH=90°-∠GDN，
∴∠MDG=∠NDH，
在△DMG和△DNH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDG=∠NDH}&{\;}\\{∠DMG=∠DNH}&{\;}\\{DM=DN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，
∵正方形DMCN的面積=DM²=$\frac{1}{8}$AB²，=$\frac{1}{8}$×4²=2，
∴四邊形DGCH的面積=$\frac{1}{8}$AB²，
∵扇形FDE的面積=$\frac{90π•C{D}^{2}}{360}$=$\frac{πA{B}^{2}}{16}$=$\frac{π×{4}^{2}}{16}$=π，
∴陰影部分的面積=扇形面積-四邊形DGCH的面積=π-2，
故答案為：π-2．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形斜邊中線的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，能正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．