Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點P在AC上運動，點D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．

（1）判斷DE與DP的位置關系，并說明理由；

（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】（1）DE⊥DP，理由見解析；（2）DE＝4.75

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠A＝∠PDA，根據線段垂直平分線的性質得到EB＝ED，于是得到結論；

（2）連接PE，設DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）DE⊥DP，

理由如下：∵PD＝PA，

∴∠A＝∠PDA，

∵EF是BD的垂直平分線，

∴EB＝ED，

∴∠B＝∠EDB，

∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠PDA+∠EDB＝90°，

∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，

∴DE⊥DP；

（2）連接PE，設DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，

∵∠C＝∠PDE＝90°，

∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，

∴42+（8﹣x）2＝22+x2，

解得：x＝4.75，

則DE＝4.75．