Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分別在AB、AD邊上，已知AB=4．

（1）求正方形ABCD的周長；

（2）將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，求證：BE=DG．

（3）將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BE交DG于點H，設BH與AD的交點為M．

①求證：BH⊥DG；

②當AE=時，求線段BH的長（精確到0.1）．

Answer 1

【答案】（1）16；（2）證明見解析；（3）①證明見解析；②5.1

【解析】

根據正方形的周長定義求解；根據正方形的性質得AB=AD，AE=AG，在根據旋轉的性質得∠BAE=∠DAG=θ，然后根據“SAS”判斷△BAE≌△DAG，則BE=DG；①由BAE≌△DAG得到∠ABE=∠ADG，而∠AMB=∠DMH，根據三角形內角和定理即可得到∠DHM=∠BAM=90°，則BH⊥DG；②連結GE交AD于點N，連結DE，由于正方形AEFG繞點A逆時針旋轉45°，AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE=可得到AN=GN=1，所以DN=4﹣1=3，然后根據勾股定理可計算出DG=，則BE=，解著利用S△DEG=GEND=DGHE可計算出HE=，所以BH=BE+HE=≈5．1．

解：（1）正方形ABCD的周長=4×4=16；

（2）∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，

∵將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°），∴∠BAE=∠DAG=θ，

在△BAE和△DAG，，

∴△BAE≌△DAG（SAS），

∴BE=DG；

（3）①證明：∵△BAE≌△DAG，∴∠ABE=∠ADG，又∵∠AMB=∠DMH，∴∠DHM=∠BAM=90°，∴BH⊥DG；

②解：連結GE交AD于點N，連結DE，如圖，∵正方形AEFG繞點A逆時針旋轉45°，

∴AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，

∵AE=，∴AN=GN=1， ∴DN=4﹣1=3，

在Rt△DNG中，DG=； ∴BE=，

∵S△DEG=GEND=DGHE， ∴HE=，

∴BH=BE+HE=≈5.1．