Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點(diǎn)O，⊙O與AC相切于點(diǎn)D，BE⊥AB交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，與⊙O相交于G，F兩點(diǎn)．

(1)求證：AB與⊙O相切；

(2)若AB＝4，求線段GF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2.

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足是M.

證明OM等于圓的半徑即可；
（2）過點(diǎn)O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，

由垂徑定理得出NG＝NF＝GF.證出四邊形OMBN是矩形，在利用三角函數(shù)求得OM和的長(zhǎng)，則和即可求得，在中利用勾股定理求得，即可得出的長(zhǎng)．

試題解析： 如圖，

∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝∠AMO＝90°.

∵△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，

∴∠DAO＝∠MAO，∴OM＝OD.

∴AB與⊙O相切；

如圖，過點(diǎn)O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，

則NG＝NF＝GF.∵O是BC的中點(diǎn)，

∴OB＝2.

在Rt△OBM中，∠MBO＝60°，

∴∠BOM＝30°，∴BM＝BO＝1，

∴OM＝.

∵BE⊥AB，∴四邊形OMBN是矩形，

∴ON＝BM＝1.∵OF＝OM＝，

由勾股定理得NF＝＝，

∴GF＝2NF＝2.