Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E. ⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD= .

（1）求證：CD∥BF；

（2）求⊙O的半徑；

（3）求弦CD的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2（3）

【解析】解：（1）∵BF是⊙O的切線 ∴AB⊥BF …………………1分

∵AB⊥CD

∴CD∥BF………………………………………………2分

（2）連結BD

∵AB是直徑 ∴∠ADB=90° ………………………………………3分

∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD=…………………4分

∴cos∠BAD=

又∵AD=3 ∴AB=4

∴⊙O的半徑為2 ……………………………………5分

（3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE= …………………………6分

∴ED= ……………………………………………7分

∴CD=2ED= ………………………………………………………8分

（1）由平行公理可得

（2）連結BD，利用三角函數求得通過已知，即可求得⊙O的半徑

（3）利用三角函數求得AE的長，通過勾股定理求得ED的長，從而求得弦CD的長