Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線BP與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點(diǎn)A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b可得，

，

解得，a=4，b=﹣3，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x﹣3

（2）解：∵點(diǎn)C在y軸上，

所以C點(diǎn)橫坐標(biāo)x=0，

∵點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)xP= = ，

∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x2+4x﹣3上，

∴yP= ﹣3= ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ）

（3）解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ， ），點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2× ﹣0= ，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0， ），

∴BC= = ，

∴sin∠OCB= = =

【解析】（1）將點(diǎn)A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；（2）由C點(diǎn)橫坐標(biāo)為0可得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入（1）中拋物線解析式，易得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由P點(diǎn)的坐標(biāo)可得C點(diǎn)坐標(biāo)，A、B、C的坐標(biāo)，利用勾股定理可得BC長(zhǎng)，利用sin∠OCB= 可得結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和解直角三角形對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．