Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=DC，AB=6，AD=8，點(diǎn)P、Q分別為BC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，與BD相交于點(diǎn)O．

（1）當(dāng)∠1=∠2時(shí)，求證：∠DOQ=∠DPC；

（2）當(dāng)（1）的條件下，求證：DQ·PC=BD·DO；

（3）如果點(diǎn)P由點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)，每秒移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)D向點(diǎn)A移動(dòng)，每秒移動(dòng)1個(gè)單位，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，是否存在某一時(shí)刻，使得△BOP為直角三角形，如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）存在；當(dāng)t＝秒或t＝秒時(shí)，△BOP為直角三角形．

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的判定定理證明△DOP∽△DPB，得到∠DOP=∠DPB，根據(jù)鄰補(bǔ)角的

性質(zhì)證明結(jié)論；

（2）證明△DOQ∽△CPD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例證明結(jié)論；

（3）分①∠BPO=90°和②∠POB=90°兩種情況，根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

（1）證明：∵∠PDO=∠BDP，∠1=∠2，

∴△DOP∽△DPB，

∴∠DOP=∠DPB，

∵∠DOQ+∠DOP=∠DPC+∠DPB=180°，

∴∠DOQ=∠DPC；

（2）證明：∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠1，

∵BD=DC，

∴∠1=∠C，

∴∠ADO=∠C，

又∵∠DOQ=∠DPC，

∴△DOQ∽△CPD，

∴，

∵BD=DC，

∴，

∴DQPC=BDDO；

（3）存在，

①如圖1，當(dāng)∠BPO=90°時(shí)，

∵BP=2t，DQ=t，

∴AQ=8-t

∵此時(shí)AQ=BP

∴8-t=2t

∴t＝；

②如圖2，當(dāng)∠POB=90°時(shí)，

∵△DOQ∽△BOP

∴

∵AB=6，AD=8，

∴BD=10，

∴DO=

∵△DOQ∽△DBA，

∴，

∴，

∴t＝．

綜上所述，當(dāng)t＝秒或t＝秒時(shí)，△BOP為直角三角形．