Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)．

（1）在圖1中，將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°得到△A1B1C1，使邊A1B1經(jīng)過點(diǎn)C．求n的值．

（2）將圖1向右平移到圖2位置，在圖2中，連結(jié)AA1、AC1、CC1．求證：四邊形AA1CC1是矩形；

（3）在圖3中，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°得到△A2B2C2，使邊A2B2經(jīng)過點(diǎn)A，連結(jié)AC2、A2C、CC2．

①請你直接寫出m的值和四邊形AA2CC2的形狀；

②若AB＝，請直接寫出AA2的長．

Answer 1

【答案】（1）n＝60°；（2）見解析；（3）①m＝120°，四邊形AA2CC2是矩形；②AA2＝3．

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠COC1即可．（2）根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證明即可．（3）①求出∠COC2即可，根據(jù)矩形的判定證明即可解決問題．②解直角三角形求出A2C2，再求出AA2即可．

（1）解：如圖1中，

由旋轉(zhuǎn)可知：△A1B1C1≌△ABC，

∴∠A1＝∠A＝30°，

∵OC＝OA，OA1＝OA，

∴OC＝OA1，

∴∠OCA1＝∠A1＝30°，

∴∠COC1＝∠A1+OCA1＝60°，

∴n＝60°．

（2）證明：如圖2中，

∵OC＝OA，OA1＝OC1，

∴四邊形AA1CC1是平行四邊形，

∵OA＝OA1，OC＝OC1，

∴AC＝A1C1，

∴四邊形AA1CC1是矩形．

（3）如圖3中，

①∵OA＝OA2，

∴∠OAA2＝∠OA2A＝30°，

∴∠COC2＝∠AOA2＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴m＝120°，

∵OC＝OA，OA2＝OC2，

∴四邊形AA2CC2是平行四邊形，

∵OA＝OA2，OC＝OC2，

∴AC＝A2C2，

∴四邊形AA2CC2是矩形．

②∵AC＝A2C2＝ABcos30°＝4×＝6，

∴AA2＝A2C2cos30°＝6×＝3．